Pantographe

Le but de ce projet purement mathématique est la présentation des calculs pour piloter un pantographe au moyen de 2 servos et réalisé à l’aide du calculateur en ligne Desmos.

La figure suivante donne un aperçu de la finalité du projet :

Figure 1 – Principe du pantographe piloté par 2 servos

Le principe de cette cinématique du pantographe est de calculer la position d’un point (le support crayon S_C) en fonction des 2 angles compris entre 0° et 180° dans le sens trigonométrique ou antihoraire fixés par les 2 servos (S_L et S_R) afin de réaliser par exemple ce projet communément appelé « plotclock »

Pour cela, vous remarquerez sur la figure 1 que les axes des 2 servos (P_SW et P_SE) « pilotent » chacun 1 branche inférieure (L_S) au pantogaphe qui elle même « pilote » une branche supérieure (L_N) reliée au pivot P_N avec lequel le support crayon est solidaire. Il va de soit que toutes les rotations même comprises entre 0° et 180° des servos ne sont pas permises car le pantographe ainsi piloté doit satisfaire à certaines conditions mécaniques comme la convexité du pentagone ou le fait que la distance du point P_N à chacun des 2 axes des servos soit inférieure ou égale à la somme (L_S + L_N).

La zone de traçage du support crayon s’en trouve ainsi limiter à une surface bien déterminée et qui fait l’objet, entre autre, de ce projet.

De plus, si la fonction « Angles servos S_L et S_R = fonction(position de S_C) » est indispensable pour le « pilotage », la fonction « Position S_C = fonction(angles servos S_L et S_R) » permet de vérifier que chaque fonction est l’inverse l’une de l’autre et vice versa à la précision des calculs.

Seuls 6 paramètres du pantographe entrent dans les calculs; à savoir :

• 1 – L’information M_irror indiquant la branche supérieure L_N avec laquelle le support crayon S_C est solidaire (segment [P_W, P_N] si M_irror = 1 ou [P_E, P_N] si M_irror = 0)
• 2 – La distance D_servos entre les 2 servos S_L et S_R dont les axes de rotation P_SW et P_SE sont sur l’axe des abscisses (P_SW étant opposé à P_SE)
• 3 – La longueur L_N des 2 branches supérieures (segments [P_W, P_N] et [P_E, P_N])
• 4 – La longueur L_S des 2 branches inférieures (segments [P_SW, P_W] et [P_SE, P_E]) et pouvant être différente de L_N
• 5 – La distance W_SC du support crayon S_C par rapport à la droite construite à partir du segment [P_W, P_N] (si M_irror = 1) ou [P_E, P_N] (si M_irror = 0)
• 6 – La distance E_SC du support crayon S_C par rapport à la droite construite à partir de P_N et perpendiculaire au segment [P_W, P_N] (si M_irror = 1) ou [P_E, P_N] (si M_irror = 0)

Les 2 feuilles de calculs interactives à l’aide de Desmos et les documents associés sont :

• 1 – Angles servos S_L et S_R = fonction(position de S_C)
• 2 – Position S_C = fonction(angles servos S_L et S_R)
• 3 – Document de synthèse des calculs avec Desmos (Pantographe@overleaf)